一、平行四邊形

　　例1如圖1，有一矩形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上。設(shè)F、H分別是B、D落在AC上的點，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點。求證：四邊形AECG是平行四邊形。

　　分析：要證明四邊形AECG是平行四邊形，題中已有條件CG∥AE，因此可考慮證明CG=AE，利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”；也可以考慮證明AG∥CE，利用“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”。下面用第二種思路證明。

　　證明：在矩形ABCD中，因為AD∥BC，所以∠DAC=∠BCA。由題意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA，所以∠GAH=∠ECF，所以AG∥CE。又因為CG∥AE，所以四邊形AECG是平行四邊形。

　　點評：平行四邊形常見的判定方法還有：①兩組對邊分別相等的四邊形；②對角線互相平分的四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形。運用時，要靈活選擇。如果一種方法不易解出，可以嘗試其他的方法。

　　二、矩形

　　例2如圖2，在△ABC中，AB=AC。AD⊥BC，垂足為點D。AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E。求證：四邊形ADCE為矩形。

　　分析：要證明四邊形ADCR為矩形，題設(shè)中已有兩個角是直角的條件，可考慮利用“有三個角是直角的四邊形是矩形”來證明，故只要證明∠DAE是直角即可。

　　證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD=∠DAC。因為AN是△ABC外角∠CAM的平分線，所以∠MAE=∠CAE。故∠DAE=∠DAC+∠CAE=。又因為AD⊥BC，CE⊥AN，所以四邊形ADCE為矩形。

　　點評：矩形常見的判定方法有：①三個角是直角的四邊形；②有一個角是直角的平行四邊形；③兩條對角線相等的平行四邊形。

　　三、菱形

　　例3如圖3，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD。將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點C1處，折痕DE交BC于點E。求證：四邊形CDC1E是菱形。

　　分析：由于是折疊問題，因此有很多邊相等、角相等，可以考慮利用“四條邊都相等的四邊形是菱形”來證明。

　　證明：由題意可知△CDE≌△C1DE，則有CD=C1D，∠C1DE=∠CDE，CE=C1E。因為AD∥BC，所以∠C1DE=∠CED。故∠CDE=∠CED，于是CD=CE。所以CD=C1D=C1E=CE，四邊形CDC1E是菱形。

　　點評：菱形常見的判定方法有：①四條邊都相等的四邊形；②有一組鄰邊相等的平行四邊形；③對角線互相垂直的平行四邊形。在折疊問題中，如果有平行線的條件，一般都會有等腰三角形存在。這點應(yīng)當重視。

　　四、正方形

　　例4如圖4所示，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對角線AC與BD相交于點O。若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加的一個條件是。

　　分析：這是一道開放型題目。根據(jù)已知條件知四邊形ABCD是菱形，要使四邊形ABCD是正方形，按其判定方法只要增加條件∠BAD=90°，或∠ABD=45°，或AC=BD等。

　　解：略。

　　點評：正方形常見的判定方法有：①有一組鄰邊相等的矩形；②有一個角是直角的（或?qū)蔷€相等的）菱形。

　　五、等腰梯形

　　例5如圖5，在等腰△ABC中，AB=AC。BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為點D、E，連接DE。求證：四邊形BCDE是等腰梯形。

　　分析：要證明四邊形BCDE是等腰梯形，首先要證明它是梯形，再證明其兩腰相等即可。由圖形知BE與CD顯然不平行，因此要證明DE∥BC，可通過“同位角相等，兩直線平行”來解決。要證明這個梯形是等腰梯形，可通過說明兩腰相等的方法達到。

　　證明：在等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB。因為BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠BEC=∠CDB=90°。又BC=CB，所以△BEC≌△CDB（AAS）。于是BE=CD。從而AB-BE=AC-CD，即AE=AD。所以∠AED=∠ADE。所以∠ABC=∠AED=（180°-∠A）。所以DE∥BC。而BE與CD不平行，所以四邊形BCDE是梯形。又因為BE=CD，故四邊形BCDE是等腰梯形。